Day_3 04. 벡터가 뭐예요?

벡터가 뭐예요?

1. 벡터

• 벡터는 숫자를 원소로 가지는 리스트(list) 또는 배열(array)
• 세로 배열 : 열벡터
• 가로 배열 : 행벡터

• 원소의 개수 : 벡터의 차원

• 벡터는 공간에서 한 점을 나타냄
• 벡터는 원점으로부터 상대적 위치를 표현
• 벡터에 숫자를 곱해주면 길이만 변함
  • 스칼라곱이라고 함
  • 곱해주는 값이 1보다 크면 길이가 늘어남
  • 곱해주는 값이 1보다 작으면 길이가 줄어듦
  • 곱해주는 값이 0보다 작으면 반대 방향
• 벡터끼리 같은 모양을 가지면 덧셈, 뺄셈을 계산 가능
  • 각 구성성분끼리 계산
  • 같은 모양이 아니면 연산이 되지 않음
• 벡터끼리 같은 모양을 가지면 성분곱(Hadamard product)을 계산 가능

1.1 벡터의 덧셈, 뺼셈

• 두 벡터의 덧셈은 다른 벡터로부터 상대적 위치이동을 표현
• 두 벡터의 뺄셈은 다른 벡터의 -벡터를 더하는거와 같음

1.2 벡터의 노름

• 벡터의 노름(norm)은 원점에서부터의 거리
• 임의의 차원 d에 대해 성립하는 것을 명심
• L1-노름은 각 성분의 변화량의 절대값을 모두 더한 것
  • 좌표축을 따라 이동하는 값들을 더한값

• L2-노름은 피타고라스 정리를 이용해 유클리드 거리를 계산한 것

• 왜 다른 노름을 소개할까?
  • 노름의 종류에 따라 기하학적 성질이 달라짐
  • L1-노름은 robust하게 학습을 하거나, lasso 회귀를 사용할 때 사용
  • L2-노름은 laplace 근사나, ridge 회귀를 사용할 때 사용

1.3 두 벡터사이의 거리

• L1, L2-노름을 이용해 두 벡터 사이의 거리 계산 가능
• 두 점이 주어졌을 때 두 점 사이의 거리를 계산하는 것
• 두 벡터 사이의 거리를 계산할 때는 벡터의 뺼셈을 이용
• 뺄셈을 거꾸로 해도 거리는 같음

  • y - x

    =

    x - y

1.4 두 벡터 사이의 각도

• 두 벡터 사이의 거리를 이용해 각도 계산 가능
• 오직 L2-노름에서만 가능
• 제2 코사인 법칙에 의해 두 벡터 사이의 각도를 계산 가능
• 분자를 쉽게 계산하는 방법이 내적
  • 내적(inner product)
  • np.inner 함수로 계산 가능

1.5 내적의 해석

• 내적은 정사영(orthogonal projection)된 벡터의 길이와 관련

• proj(x)의 길이는 코사인법칙에 의해

  x

  cosθ 와 같음

• 내적은 정사영의 길이를 **벡터 y의 길이

  y

  만큼 조정**한 값

• 내적은 두 벡터의 유사도(similarity)를 측정하는데 사용